Вопрос: Может ли родитель отказаться платить штраф за неправомерные действия своего ребенка?

Ответ:
Нет, не может, поскольку статья 32.2 КоАП РФ устанавливает обязанность родителей (иных законных представителей) несовершеннолетних брать на себя расходы по оплате административного штрафа в случае отсутствия у несовершеннолетнего самостоятельного заработка.
Если родителями или законными представителями указанная обязанность своевременно не исполнена, они могут быть привлечены к ответственности за неуплату административного штрафа.
За это предусмотрено наложение административного штрафа в двукратном размере суммы неуплаченного административного штрафа, но не менее одной тысячи рублей, либо административный арест на срок до пятнадцати суток, либо обязательные работы на срок до пятидесяти часов.